Une octave correspond à un rapport de fréquence de 2 pour 1. Par exemple, si un La vibre à 440 Hz, le La de l'octave supérieure vibre à 880 Hz.
Entre ces deux La, il y a douze demi-tons :
La – La♯ – Si – Do – Do♯ – Ré – Ré♯ – Mi – Fa – Fa♯ – Sol – Sol♯ – La
Dans le tempérament égal, l'octave est divisée en 12 intervalles exactement égaux du point de vue logarithmique.
Cela signifie que chaque demi-ton multiplie la fréquence de la note précédente par exactement le même nombre.
C'est ici que commence le problème intéressant.
Une quinte parfaitement juste possède un rapport de fréquence de 3/2.
Si l'on construit la gamme en empilant des quintes parfaitement justes, on finit par revenir presque à la note de départ, mais pas exactement.
Mathématiquement :
Autrement dit, douze quintes parfaitement justes ne correspondent pas exactement à sept octaves.
Il reste un petit écart. Cet écart est appelé le comma pythagoricien.
C'est l'une des raisons fondamentales pour lesquelles il faut tempérer les intervalles si l'on veut pouvoir utiliser toutes les tonalités.
Si une octave est divisée en douze demi-tons égaux, il faut trouver un nombre qui, multiplié douze fois par lui-même, donne 2.
La solution est :
Ce nombre vaut environ :
Chaque demi-ton multiplie donc la fréquence par environ 1,059463.
Si le La 440 Hz est pris comme référence, le La♯ situé un demi-ton au-dessus vaut :
Le Si, deux demi-tons au-dessus :
Et une octave plus haut :
C'est un point essentiel pour comprendre le travail de l'accordeur.
Dans le tempérament égal, la quinte n'est pas exactement dans le rapport 3/2. Elle est légèrement plus petite.
Une quinte tempérée correspond à sept demi-tons :
alors qu'une quinte parfaitement juste correspond à :
La différence est très faible, mais elle est mesurable et surtout audible sous la forme de battements.
Deux sons de fréquences légèrement différentes produisent des variations périodiques d'intensité que l'on appelle des battemements.
Par exemple, si deux sons ont respectivement des fréquences de 440 Hz et 442 Hz, on entend environ :
L'accordeur utilise ces battements pour contrôler les intervalles. Ils deviennent une véritable unité de mesure à l'oreille.
Dans un piano, les battements ne sont pas identiques pour tous les intervalles. Ils sont répartis progressivement dans le tempérament.
Sur un piano réel, le tempérament égal est le point de départ, mais l'accord ne s'arrête pas à la formule mathématique.
Les cordes du piano ne vibrent pas comme des cordes parfaitement idéales. Elles produisent des harmoniques qui sont légèrement décalées par rapport aux multiples mathématiques de la fréquence fondamentale.
C'est ce que l'on appelle l'inharmonicité.
Pour cette raison, les octaves d'un piano sont généralement élargies légèrement par rapport à leur rapport mathématique théorique.
C'est notamment ce phénomène qui explique pourquoi deux pianos accordés avec le même tempérament peuvent malgré tout avoir une sonorité différente.
Le tempérament égal n'est pas né avec le piano.
Les musiciens et les théoriciens cherchent depuis l'Antiquité à résoudre le problème de l'accord des instruments.
Dans l'Antiquité, la théorie de Pythagore donne une place importante aux rapports numériques simples, notamment l'octave 2/1 et la quinte 3/2.
Le système construit à partir de quintes justes fonctionne très bien pour certaines tonalités, mais présente des difficultés lorsqu'on veut parcourir toutes les tonalités.
À la Renaissance et à l'époque baroque, différents tempéraments apparaissent.
On ne répartit plus l'écart de manière parfaitement égale : certaines quintes sont davantage tempérées que d'autres.
Cela permet de conserver des tierces particulièrement belles dans certaines tonalités, mais toutes les tonalités ne sonnent pas de la même manière.
C'est dans ce contexte que se développent différents tempéraments mésotoniques et bien tempérés.
Le Clavier bien tempéré de Johann Sebastian Bach, publié en deux livres en 1722 et 1742, montre qu'il est possible d'utiliser les différentes tonalités sur un clavier.
Attention cependant : le terme « bien tempéré » ne signifie pas nécessairement « tempérament égal ».
Le tempérament utilisé par Bach fait encore aujourd'hui l'objet de discussions historiques. Il appartient à la famille des tempéraments inégaux plutôt qu'au tempérament égal moderne.
Avec l'évolution des instruments à clavier et surtout avec le développement du piano, la possibilité de jouer dans toutes les tonalités avec une organisation régulière des douze demi-tons devient de plus en plus importante.
Le tempérament égal finit par s'imposer largement au XIXe siècle et devient le système de référence des pianos modernes.
Il présente un grand avantage :
Do majeur et Fa♯ majeur ne sont plus construits selon des intervalles différents : ils utilisent la même organisation mathématique des douze demi-tons.
| Élément | Valeur |
|---|---|
| Une octave | 12 demi-tons |
| Rapport d'une octave | 2 / 1 |
| Facteur d'un demi-ton | 21/12 ≈ 1,059463 |
| Quinte juste | 3 / 2 = 1,5 |
| Quinte tempérée | 27/12 ≈ 1,498307 |
| La de référence courante | 440 Hz |
Accorder un piano ne consiste donc pas simplement à mettre chaque note « à la bonne fréquence ».
L'accordeur construit d'abord un tempérament dans la partie centrale du clavier. Il répartit les écarts entre les différents intervalles en utilisant son oreille et les battements.
Ensuite, ce tempérament est étendu à l'ensemble du clavier.
Enfin, l'accordeur tient compte de l'instrument lui-même : longueur et tension des cordes, état du piano, inharmonicité, puissance des cordes, qualité du son et équilibre général du clavier.
Le tempérament égal est une manière de répartir les douze notes de l'octave afin de pouvoir jouer dans toutes les tonalités.
Mathématiquement, chaque demi-ton est obtenu en multipliant la fréquence par 21/12.
Mais un piano n'est pas une machine mathématique : ses cordes présentent de l'inharmonicité et son accord demande un travail d'écoute très précis.
Le tempérament égal donne le cadre mathématique ; l'accordeur transforme ce cadre en musique.